비즈니스 애널리틱스 2026 · 배경이론 · 3주차

고장률과 예방정비 — 언제 교체할 것인가

교재의 배경이론 전문. 신뢰도와 위험률 · 노출량 기반 고장률 · 욕조곡선 · 예방정비의 성립 조건 · 상태 기반 정비 · 정책 비용의 셈법 · 연습문제

이 문서는 3주차 교재(Colab 노트북)가 가리키는 배경이론이다. 노트북에는 이론을 싣지 않고 적용만 한다. 교재 5~9절에서 고장률을 노출량으로 재고, 나이와 상태 지표가 고장을 얼마나 가르는지 보고, 정책마다 손익분기 비율을 내어 하나를 고르는 절차가 어떤 논리 위에 서 있는지를 정의와 수식으로 정리한다. 신뢰성공학과 설비보전에서 배운 것을 이 과목의 데이터(Backblaze 디스크 로그)에 적용하는 데 필요한 내용을 정리한다.

1신뢰도와 위험률

수명을 확률변수 $X$로 보면, 이미 그 나이까지 작동한 장비의 앞으로의 위험을 구분해야 한다.

정의: 신뢰도(reliability) $S(t)=P(X>t)$ — 장비가 시각 $t$까지 고장 나지 않을 확률.
정의: 위험률(hazard rate) $h(t)=f(t)/S(t)$ — 시각 $t$까지 고장 나지 않았다는 조건에서의 순간 고장 빈도. $f(t)$는 수명의 확률밀도다.

위험률의 단위는 시간의 역수다. 위험률 자체를 일정 기간의 고장 확률로 읽지 않는다. 위험률이 나이에 따라 일정하고 새 장비도 같은 위험률을 가진다면, 나이가 많다는 이유로 교체해도 앞으로의 고장 위험은 낮아지지 않는다.

2관측 기간이 다를 때 고장률을 재는 법

90일 동안 고장 난 디스크 수를 관측된 디스크 수로 나누면 그 표본의 고장 비율이 나온다. 이를 단순히 연간 환산하려면 365/90을 곱한다. 그러나 디스크마다 관측 기간이 다르면 실제 관측된 날수의 합을 분모로 써야 한다.

정의: 노출량(exposure) — 관측된 장비·시간의 합. 하루 한 번 남긴 디스크 기록에서는 데이터포인트 수가 디스크·일 수다.
정의: 연간고장률(annualized failure rate, AFR) — 관측 고장을 디스크·일로 나눈 뒤 디스크·년 단위로 환산한 빈도. $$\mathrm{AFR}=\frac{F}{D}\times365$$ 여기서 $F$는 관측 고장 수, $D$는 관측된 디스크·일 수다.

A는 90일 동안 고장 없이 관측되고, B는 60일째 고장 나고, C는 30일 동안 고장 없이 관측됐다면 노출량은 180디스크·일이다. 개수 기준 비율의 연간 환산은 $(1/3)(365/90)\approx1.35$, 노출량 기준 AFR은 $365/180\approx2.03$이다. AFR은 디스크·년당 빈도라 1을 넘을 수 있으며, 개별 디스크가 1년 안에 고장 날 확률은 아니다.

나이 구간별로도 해당 구간에 속한 데이터포인트 수와 그때의 고장 수를 센다. 한 디스크가 구간 경계를 넘으면 관측일이 여러 구간에 나뉜다. 교재는 오른쪽 경계를 포함하는 1년 구간을 쓰고, 첫 구간에는 나이 0도 포함한다.

3욕조곡선

정의: 욕조곡선(bathtub curve) — 위험률이 초기에 높고 중간에 낮아졌다가 나이가 많아지면서 다시 높아지는 모양.

초기 결함과 마모는 이런 모양을 설명할 수 있는 원인이다. 그러나 한 분기에 서로 다른 나이의 디스크를 비교한 표만으로 같은 디스크가 평생 이 경로를 따른다고 확인할 수는 없다. 모델, 투입 시기, 관측에서 빠지는 과정의 차이가 함께 반영될 수 있다. 나이 구간별 빈도의 차이와 특정 나이에 교체했을 때의 비용 효과도 구분한다.

4예방정비가 성립하는 조건

미리 교체하는 규칙은 고장 전에 판단할 수 있는 정보로 대상을 골라야 한다. 나이 기준은 나이에 따른 위험 차이를, 상태 기준은 관측된 신호를 사용한다. 어느 쪽도 위험 차이가 있다는 사실만으로 비용상 이득을 보장하지 않는다.

계획 교체 한 번의 비용을 $C_p$, 고장 후 대응 한 번의 비용을 $C_f$라고 하자. 같은 관측 기간에서 전체 교체 개수가 $n$, 그 교체로 예방 가능한 고장이 $m$일 때 고장 후 교체보다 싼 조건은 다음과 같다.

$$C_p n < C_f m \quad\Longleftrightarrow\quad R=\frac{C_f}{C_p}>\frac{n}{m}\qquad(m>0)$$
정의: 손익분기 비용 비율(break-even cost ratio) — 예방 교체와 고장 후 교체의 비용이 같아지는 $C_f/C_p$, 즉 $n/m$. 같은 비용 모형에서 이 값을 넘어야 예방 교체가 더 싸다.

$m=0$이고 $n>0$이면 예방 효과 없이 교체 비용만 든다. 교재는 이때 손익분기 비율을 무한대로 표시한다. 손익분기 비율이 낮다는 것이 모든 비용 조건에서 최저 비용이라는 뜻은 아니다.

도입 기간의 비용과 효과를 같은 대상으로 센다

교재와 랩은 2026년 1분기의 90일에 규칙을 도입하는 경우를 비교한다. 매일 기록을 확인하고 디스크마다 조건에 처음 걸린 날 한 번 교체한다. 처음 관측부터 조건에 걸린 디스크도 교체 개수에 포함한다. 고장 전날까지 조건을 만족한 디스크 집합을 $H$, 이 기간의 실제 고장 디스크 집합을 $G$라 두면 다음과 같다.

$$n=|H|,\qquad m=|H\cap G|$$

고장 당일에 처음 걸린 디스크는 예방 가능한 고장에 넣지 않는다. 처음부터 걸린 디스크의 교체 비용은 빼면서 그 디스크의 고장은 예방 효과에 포함하면 비용과 효과의 대상이 달라진다. 첫 관측부터 걸린 개수와 이후 새로 걸린 개수는 운영 부담을 설명하는 구분이며 둘 다 비용에 포함한다. 중간에 관측이 시작된 디스크가 있으므로 첫 관측이 모두 1월 1일인 것은 아니다.

5상태 기반 정비

정의: 상태 기반 정비(condition-based maintenance, CBM) — 장비에서 측정한 상태를 근거로 정비 시점을 결정하는 방식.

교재는 불량 섹터와 오류를 기록하는 SMART 지표 중 값이 0보다 큰 상태를 신호로 사용한다. 신호가 고장과 관련되어 있는지, 고장 전에 관측되는지, 교체에 필요한 시간이 있는지, 교체 비용이 감당 가능한지를 확인한다.

고장 당일과 마지막 관측일의 신호 비율을 비교한 배수는 고장 전 예측 성능이 아니다. 또한 고장 디스크에서 신호가 켜진 비율과 신호가 있는 디스크의 고장 확률은 분모가 다르다. 값이 0이거나 기록되지 않았다는 사실만으로 정상이라고 확정하지 않는다.

정의: 관측 선행 시간 — 고장 전에 신호가 처음 관측된 날부터 고장 기록일까지의 시간.

첫 관측부터 신호가 켜져 있으면 실제 발생 시점은 그날 또는 그보다 앞일 수 있다. 고장이 기록된 디스크에서 잰 선행 시간은 고장 없는 디스크의 경보가 얼마나 오래 지속되는지까지 설명하지 않는다. 교체에 걸리는 시간이 선행 시간과 비슷하면 고장과 작업 완료의 시각도 필요하다.

랩의 기준값 0·1·4·16은 대기 불량 섹터 수에 적용하는 비교 후보다. 해당 값보다 클 때 교체한다. 기준값을 높이면 교체 대상과 예방 가능한 고장은 늘지 않지만, 고장 하나당 교체 개수가 어느 쪽으로 움직이는지는 실제 집계를 봐야 한다.

6정책 비용의 셈법

고장 후 교체만 하면 관측 고장 $F$건 모두에 비용이 든다. 예방 규칙은 전체 교체 $n$과 남은 고장 $F-m$에 비용이 든다.

$$C_{\text{rule}}=C_p n+C_f(F-m),\qquad C_{\text{after}}=C_f F$$

계획 교체 비용을 1로 두고 비용 비율을 $R=C_f/C_p$로 나타내면 상대 비용은 다음과 같다.

$$\frac{C_{\text{rule}}}{C_{\text{after}}}=\frac{n+R(F-m)}{RF}$$

1보다 작으면 고장 후 교체보다 싸다. 여러 후보 중 어느 것이 가장 싼지는 상대 비용을 직접 비교한다. $n/m$이 낮아도 예방 가능한 고장 $m$이 적으면 남은 고장 비용 때문에 최저 비용이 아닐 수 있다. 랩에서는 고장 후 교체도 상대 비용 1인 후보로 포함한다.

금액은 데이터에서 관측하지 않았다. 교재의 금액과 랩의 비용 비율 5·20·50은 선택이 비용 조건에 따라 어떻게 달라지는지 보기 위한 가정이며, 실제 회사의 비용을 추정한 값은 아니다. 가격과 손실을 정하지 않고도 비교표를 만들 수 있지만 실제 적용에는 그 회사의 비용 확인이 필요하다.

7이 도구가 답하지 않는 것

교재와 랩은 조건을 확인한 날 교체가 완료되고, 교체로 해당 디스크의 관측 고장을 예방하며, 새 디스크는 남은 기간에 고장 나거나 재교체되지 않는다고 가정한다. 실제 작업 지연, 교체 과정의 장애, 새 장비의 고장까지 반영한 결과는 아니다.

과거에 조건에 걸린 디스크의 관측 고장 수를 세었으므로 실제 교체 실험으로 예방 효과를 확인한 것도 아니다. 관측 기간 밖의 고장과 남은 수명 가치는 계산에 들어 있지 않다. 이 90일 도입 비용을 장기 운영비로 환산하려면 교체 이후의 기록과 운영 과정에 대한 추가 모형이 필요하다.

디스크가 함께 고장 날 위험과 데이터 손실의 영향은 저장 구조와 복구 방식에 따라 다르다. $C_f$에는 회사가 추정한 기대 손실을 포함할 수 있지만, 이 디스크 기록만으로 그 금액이나 동시 고장 위험을 정할 수는 없다.

8산업공학에서 배운 것과의 연결

신뢰성공학의 위험률은 관측 기간을 고려한 고장 빈도를 읽는 데 쓰인다. 설비보전의 예방 교체는 개입 시점과 대상을 정하는 문제이며, 공학경제의 비용 비교는 같은 기간·대상에서 교체 비용과 남은 고장 비용을 함께 세는 데 쓰인다.

9연습문제

  1. 노출량. A는 90일, B는 30일, C는 10일 관측됐고 C만 고장 났다. 디스크 수로 나눈 고장 비율과 디스크·일로 나눈 AFR을 각각 구하고 차이를 설명한다.
  2. 고장 빈도와 확률. AFR이 1을 넘을 수 있는 이유를 설명한다. 이 값을 개별 디스크의 1년 고장 확률로 읽어도 되는가.
  3. 도입 비용. 교체 대상 100개 중 70개는 처음부터 조건에 걸려 있었다. 전체 교체 대상 중 관측 고장은 10건이다. 계획 교체 비용 1, 고장 후 대응 비용 20, 전체 관측 고장 30건일 때 예방 규칙과 고장 후 교체 비용을 비교한다. 처음부터 걸린 70개의 비용만 빼면 결과가 어떻게 달라지는가.
  4. 규칙 선택. A는 60개를 교체해 고장 10건, B는 100개를 교체해 고장 20건을 예방할 수 있다고 보았다. 전체 고장이 30건이고 비용 비율이 3 또는 10일 때 A·B·고장 후 교체 중 무엇이 가장 싼가.
  5. 선행 시간. 고장 당일 신호가 자주 켜진다는 사실만으로 사전 교체가 가능하다고 판단할 수 있는가. 7일 전부터 관측한 신호와 7일 걸리는 교체 작업을 비교하려면 어떤 시각 정보가 필요한가.
  6. 기간. 이 분기에 신호가 켜졌지만 고장은 다음 분기에 발생했다. 이 분기 비용과 장기 비용에서 그 디스크를 어떻게 다르게 다뤄야 하는가.

부록교재에서 쓰는 함수

# 관측된 날수를 분모로 고장 빈도를 연간 환산한다
failed = set(bb.loc[bb["failure"] == 1, "serial_number"])
afr = len(failed) / len(bb) * 365

# 나이 구간의 첫 경계 0도 포함한다
bb["age_bin"] = pd.cut(bb["age_yr"], range(0, 14), include_lowest=True)

# 고장 전 기록에서 조건에 걸린 디스크를 한 번씩 센다
fail_date = bb[bb["failure"] == 1].set_index("serial_number")["date"]
fdate = bb["serial_number"].map(fail_date)
before = bb[fdate.isna() | (bb["date"] < fdate)]
idx = set(before.loc[before["pending_sectors"] > 0, "serial_number"])
n = len(idx)
m = len(failed & idx)