비가 오는 시간에 대여가 적었다. 그 차이는 비 때문일까, 비가 온 시간이 원래 대여가 적은 시간이었기 때문일까? 조건을 맞춘 비교는 이 둘을 나누어 보는 방법이다.
1회귀계수 — 다른 조건이 같을 때의 차이
회귀분석은 결과를 여러 조건의 합으로 나타내는 식을 기록에 맞춘다. 대여 = 절편 + b1×비 + b2×기온 + … 처럼 쓰고, 식이 계산한 값과 실제 값의 차이를 제곱해 더한 값이 가장 작아지도록 계수를 고른다(최소제곱). 이렇게 고른 비의 계수 b1은 식에 함께 넣은 다른 조건이 같을 때, 비가 올 때와 안 올 때의 차이다.
예를 들어 새벽에는 날씨와 상관없이 대여가 적고, 비가 새벽에 자주 왔다고 하자. 비 오는 시간과 안 오는 시간의 평균을 그대로 비교하면 새벽이라서 적은 몫까지 비의 차이로 잡힌다. 식에 시간대를 함께 넣으면 같은 시간대끼리의 차이만 비의 계수에 남는다. 이것을 조건을 맞춘다고 한다.
조건을 맞춰도 운영 중에 쌓인 기록은 실험이 아니다. 식에 넣지 않은 조건(행사, 공사 등)이 비와 함께 달라졌다면 그 몫은 여전히 비의 계수에 섞인다.
2범주 변수 — 숫자지만 크기가 아닌 값
시간대 0~23은 숫자지만 “5시가 4시보다 1만큼 크다”는 뜻이 없다. 이 숫자를 그대로 식에 넣으면 시간이 한 칸 늘 때마다 대여가 같은 양만큼 변한다고 가정하게 되어, 아침과 저녁에 대여가 몰리는 모양을 담지 못한다. 범주로 넣으면(C(hr)) 시간대마다 대여 수준을 따로 둔다. 기준이 되는 한 시간대(0시)의 수준이 절편에 들어가고, 나머지 시간대는 0시와의 차이가 각자의 계수로 나온다. 월도 같다.
실험계획법에서 로트나 작업자를 블록으로 묶어 그 차이를 모형에 넣는 것과 같은 계산이다. 다만 실험은 처리를 무작위로 정하고, 기록은 그렇지 않다.
3로그와 배수 — 곱하기를 더하기로
대여는 새벽 4시에 평균 약 6건, 오후 5시에 약 460건이다. 비가 오면 두 시간 모두 “몇 건 준다”보다 “평시의 몇 배가 된다”가 비슷하다. 건수를 그대로 회귀하면 비의 계수 하나가 모든 시간대에 같은 건수의 차이를 뜻하게 되어, 평균 6건인 새벽에도 60건이 준다는 말이 된다.
로그는 곱하기를 더하기로 바꾼다. log(50) − log(100)과 log(200) − log(400)은 모두 −0.693이다. 로그 차이는 두 값의 비(0.5)에만 달려 있다. 결과에 로그를 씌워 회귀하면 비의 계수 b는 로그의 차이이고, exp(b)가 배수다. b = −0.64이면 exp(−0.64) ≈ 0.53, 곧 평시의 0.53배다.
로그를 씌운 회귀의 배수는 시간마다의 비율 차이를 평균한 것이라, 건수를 그대로 평균해 나눈 배수와 조금 다를 수 있다. 건수를 그대로 평균하면 대여가 많은 시간이 결과를 좌우한다.
4넣지 않을 조건 — 비를 따라 달라지는 값
조건은 많이 넣을수록 좋은 것이 아니다. 비가 와서 따라 달라지는 값을 조건으로 넣으면 비의 차이가 작아 보인다. 습도는 비가 오면 오른다. 습도를 식에 넣으면 습도가 같은 기록끼리 비교하게 되고, 비 때문에 생긴 차이의 일부가 습도의 계수로 넘어간다.
무엇을 넣을지는 질문이 정한다. 비 예보가 있을 때의 계획처럼 비와 함께 오는 변화 전체를 알고 싶으면, 비가 온 결과로 달라지는 값은 넣지 않는다. 비와 상관없이 먼저 정해져 있는 조건(시간대, 월, 근무일 여부)은 넣는다.
5계수의 흔들림 — 신뢰구간과 같은 날 묶음
계수는 이 2년의 기록에서 얻은 값이라, 기록이 달랐다면 조금 달랐을 것이다. 95% 신뢰구간은 그 흔들림의 범위다. 1주차의 신뢰구간과 같은 뜻이고, 배수로 읽으려면 구간의 양 끝에 exp를 씌운다.
통상적인 구간은 기록 하나하나를 서로 독립이라고 보고 계산한다. 그런데 같은 날의 비는 여러 시간 이어지고, 그날의 다른 사정도 그 시간들에 함께 영향을 준다. 같은 날의 스무 시간은 서로 다른 스무 날만큼의 정보를 주지 않는다. 그래서 같은 날의 시간을 한 묶음으로 보고 계산하면 구간이 넓어진다. 계획에는 이 넓은 구간을 쓴다.
신뢰구간은 계수의 흔들림이다. 어느 한 시간의 대여가 들어갈 범위(예측구간)와는 다르다.